Упр.819 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — прямоугольник;
2) если диагонали четырёхугольника равны и перпендикулярны, то этот четырёхугольник — квадрат;
3) если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат;
4) если диагонали четырёхугольника равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — квадрат;
5) если три стороны четырёхугольника равны, а диагональ является биссектрисой одного из его утлов, то этот четырёхугольник — ромб?
В случае утвердительного ответа обоснуйте его, в случае отрицательного — начертите четырёхугольник, который является контрпримером.

Подробный ответ

1) Утверждение неверно. Равенство диагоналей не является признаком прямоугольника: существует, например, равнобедренная трапеция, у которой диагонали равны, но все углы не прямые.

2) Утверждение неверно. Равные и перпендикулярные диагонали не гарантируют, что четырёхугольник — квадрат. Контрпримером может служить дельтоид (или другой четырёхугольник с такими диагоналями), который не является квадратом.

3) Утверждение неверно. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то это ещё не обязательно квадрат: таким свойством обладает, например, ромб, который может не иметь прямых углов.

4) Утверждение верно. Пусть диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$E$$, причём $$AC=BD$$, $$AE=CE$$ и $$BE=DE$$, а также $$AC \perp BD$$.

Тогда

$$AE=CE=\frac{AC}{2}, \qquad BE=DE=\frac{BD}{2}.$$

Из равенства диагоналей следует

$$AE=BE=CE=DE.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle AEB$$, $$\triangle BEC$$, $$\triangle CED$$ и $$\triangle DEA$$. Они прямоугольные, имеют попарно равные катеты, значит, равны. Отсюда

$$AB=BC=CD=DA.$$

Следовательно, четырёхугольник — ромб. Кроме того, в ромбе диагонали биссектрисы углов, а так как $$AC \perp BD$$, то угол между сторонами равен $$90^\circ$$. Значит, это прямоугольник. Итак, четырёхугольник одновременно ромб и прямоугольник, следовательно, он квадрат.

5) Утверждение неверно. Если три стороны четырёхугольника равны, а диагональ является биссектрисой одного из углов, это ещё не означает, что все четыре стороны равны. Например, можно построить дельтоид, у которого три стороны равны, а одна — нет; при этом одна из диагоналей будет биссектрисой угла.