Упр.817 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 817. На диагонали АС ромба ABCD отмечены точки M и К так, что АМ = СК. Докажите, что угол ABM = углу CBK

Подробный ответ

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Его диагонали пересекаются в точке $$O$$, причём $$BD \perp AC$$ и $$AO=CO$$. Кроме того, диагональ $$BD$$ является биссектрисой угла $$B$$, значит

$$\angle ABD=\angle CBD.$$

Так как точки $$M$$ и $$K$$ лежат на диагонали $$AC$$ и $$AM=CK$$, то

$$OM=AO-AM,$$

$$OK=CO-CK.$$

Но $$AO=CO$$ и $$AM=CK$$, следовательно,

$$OM=OK.$$

Значит, точка $$O$$ — середина отрезка $$MK$$. Поскольку $$BD \perp AC$$, а точки $$M, O, K$$ лежат на одной прямой $$AC$$, то $$BO \perp MK$$. Следовательно, в треугольнике $$MBK$$ прямая $$BO$$ является и медианой, и высотой, а значит, треугольник $$MBK$$ равнобедренный:

$$BM=BK.$$

Тогда $$BO$$ — биссектриса угла $$MBK$$, поэтому

$$\angle MBO=\angle KBO.$$

Теперь рассмотрим углы $$\angle ABM$$ и $$\angle CBK$$:

$$\angle ABM=\angle ABO-\angle MBO,$$

$$\angle CBK=\angle CBO-\angle KBO.$$

Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$, то $$\angle ABO=\angle CBO$$, а также $$\angle MBO=\angle KBO$$. Следовательно,

$$\angle ABM=\angle CBK.$$