Упр.816 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 816. Серединный перпендикуляр диагонали прямоугольника образует с его большей стороной угол 60°. Отрезок этой прямой, принадлежащий прямоугольнику, равен 12 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$AEC$$. Так как $$AO=CO$$, то точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$. Кроме того, $$EF \perp AC$$, значит прямая $$EO$$, лежащая на $$EF$$, является серединным перпендикуляром к $$AC$$. Тогда $$EA=CE$$, то есть $$\triangle AEC$$ равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике $$AEC$$ отрезок $$EO$$, проведённый к основанию $$AC$$, является и высотой, и медианой. Поэтому $$OF=EO$$, а так как $$EF=12$$ см, то

$$EO=OF=\frac{1}{2}EF=6\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$EOC$$. Угол между серединным перпендикуляром и большей стороной прямоугольника равен $$60^\circ$$, значит

$$\angle CEO=60^\circ.$$

Тогда

$$\angle ECO=90^\circ-\angle CEO=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, значит

$$CE=2EO=12\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. Так как $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$, то $$\angle ABE=90^\circ$$. Кроме того,

$$\angle AEB=180^\circ-\angle CEO-\angle AEO=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ.$$

Следовательно, в треугольнике $$ABE$$

$$\angle EAB=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Значит, снова получаем прямоугольный треугольник с углом $$30^\circ$$, поэтому