Упр.815 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. Перпендикуляр, опущенный из вершины $$B$$ прямоугольника $$ABCD$$ на диагональ $$AC$$, делит угол $$ABC$$ на два угла, величины которых относятся как $$1:3$$. Найдите угол между проведённым перпендикуляром и диагональю $$BD$$.

Обозначим $$\angle ABH=x$$, тогда $$\angle CBH=3x$$, так как по условию эти углы относятся как $$1:3$$.

В прямоугольнике $$ABCD$$ угол $$\angle ABC=90^\circ$$, значит

$$x+3x=90^\circ,$$

откуда

$$4x=90^\circ,\qquad x=22{,}5^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle CBH=67{,}5^\circ.$$

Так как $$BH\perp AC$$, то в прямоугольном треугольнике $$BHC$$ имеем

$$\angle BCH=90^\circ-\angle CBH=90^\circ-67{,}5^\circ=22{,}5^\circ.$$

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, значит

$$BO=\frac12 BD=\frac12 AC=CO,$$

то есть треугольник $$BOC$$ равнобедренный. Тогда

$$\angle CBO=\angle BCO.$$

Поскольку $$O\in AC$$, то $$\angle BCO=\angle BCH=22{,}5^\circ$$, значит

$$\angle CBO=22{,}5^\circ.$$

Искомый угол между перпендикуляром $$BH$$ и диагональю $$BD$$ равен

$$\angle DBH=\angle CBH-\angle CBO=67{,}5^\circ-22{,}5^\circ=45^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ$$