Упр.814 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 814. Угол при вершине В ромба АВCD равен 40°, точки M и К — основания перпендикуляров, опущенных из вершины А на стороны ВС и CD соответственно. Найдите углы треугольника АМК.

Подробный ответ

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. В ромбе смежные углы в сумме дают $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B=180^\circ,$$

откуда

$$\angle A=180^\circ-40^\circ=140^\circ.$$

Так как $$AM\perp BC$$ и $$M\in BC$$, то в треугольнике $$ABM$$ угол при $$M$$ прямой:

$$\angle AMB=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle BAM+\angle ABM=90^\circ.$$

Но $$\angle ABM=\angle B=40^\circ$$, следовательно

$$\angle BAM=90^\circ-40^\circ=50^\circ.$$

Аналогично, так как $$AK\perp CD$$ и $$K\in CD$$, то $$\angle AKD=90^\circ$$. В ромбе $$AB=AD$$, а также $$\angle D=\angle B=40^\circ$$, поэтому прямоугольные треугольники $$AKD$$ и $$AMB$$ равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$AK=AM,$$

значит треугольник $$AKM$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle AKM=\angle AMK.$$

Найдём угол $$\angle KAM$$:

$$\angle KAM=\angle A-\angle DAK-\angle BAM.$$

Так как из равенства треугольников $$AKD$$ и $$AMB$$ получаем $$\angle DAK=\angle BAM=50^\circ$$, то

$$\angle KAM=140^\circ-50^\circ-50^\circ=40^\circ.$$

Теперь в треугольнике $$AKM$$:

$$\angle AKM+\angle AMK+\angle KAM=180^\circ,$$

$$\angle AKM+\angle AMK=140^\circ.$$

Так как $$\angle AKM=\angle AMK$$, то

$$2\angle AKM=140^\circ,$$