Упр.812 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1) если две стороны четырёхугольника параллельны, а одна из диагоналей разбивает четырёхугольник на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм;
2) если две стороны четырёхугольника параллельны, а точка пересечения диагоналей делит одну из них пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм;
3) если две противолежащие стороны четырёхугольника равны и диагонали его равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм?

1) Пусть в четырёхугольнике $$ABCD$$ стороны $$AD \parallel BC$$, а диагональ $$BD$$ делит его на равные треугольники $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны:

$$\angle ADB=\angle CBD,$$

а также равны соответствующие стороны:

$$AD=BC.$$

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон и параллельна, и равна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, утверждение верно.

2) Пусть $$AD \parallel BC$$, а точка пересечения диагоналей $$O$$ делит одну из них пополам, то есть $$BO=DO$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOD$$ и $$\triangle BOC$$. У них:

$$\angle AOD=\angle BOC$$ — вертикальные углы,

$$\angle ADO=\angle BCO$$ — накрест лежащие углы при $$AD \parallel BC$$,

$$DO=BO$$ — по условию.

Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle BOC$$, откуда

$$AD=BC.$$

Итак, одна пара противоположных сторон четырёхугольника параллельна и равна, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм. Утверждение верно.

3) Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и диагонали равны, то этого недостаточно, чтобы он был параллелограммом.

Например, равнобедренная трапеция имеет равные диагонали, а её боковые стороны равны, но параллелограммом не является. Значит, утверждение неверно.

Ответ

1) да; 2) да; 3) нет.