Упр.811 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) если диагонали четырехугольника равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм;
2) если две стороны четырёхугольника параллельны и точка пересечения диагоналей равноудалена от этих сторон, то этот четырёхугольник — параллелограмм;
3) если две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие — равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм;
4) если биссектрисы двух противолежащих углов четырёхугольника перпендикулярны биссектрисе его третьего угла, то этот четырёхугольник — параллелограмм;
5) если диагональ четырёхугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырёхугольник — параллелограмм;
6) если каждая диагональ четырёхугольника разбивает его на два равных треугольника, то этот четырехугольник — параллелограмм;
7) если каждые две противолежащие вершины четырёхугольника равноудалены от диагонали, соединяющей две другие вершины, то этот четырёхугольник — параллелограмм?

Подробный ответ

1) Утверждение неверно. Равенство диагоналей само по себе не означает, что четырёхугольник является параллелограммом.

2) Утверждение верно. Пусть $$AB \parallel CD$$, а точка пересечения диагоналей $$O$$ равноудалена от этих сторон. Тогда $$OE \perp AB$$ и $$OF \perp CD$$, причём $$OE=OF$$. Из равенства соответствующих прямоугольных треугольников получаем $$AE=CF$$ и $$BE=DF$$, значит, $$AB=CD$$. Следовательно, в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, поэтому $$ABCD$$ — параллелограмм.

3) Утверждение неверно. Если две стороны параллельны, а две другие равны, это ещё не означает, что четырёхугольник — параллелограмм.

4) Утверждение верно. Если биссектрисы двух противолежащих углов перпендикулярны биссектрисе третьего угла, то суммы половин соответствующих углов равны $$90^\circ$$, откуда получаем $$\angle A+\angle B=180^\circ$$ и $$\angle B+\angle C=180^\circ$$. Значит, $$AD \parallel BC$$ и $$AB \parallel CD$$, следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

5) Утверждение неверно. Если одна диагональ разбивает четырёхугольник на два равных треугольника, это не обязательно означает, что противоположные стороны попарно параллельны.

6) Утверждение верно. Если каждая диагональ разбивает четырёхугольник на два равных треугольника, то из равенства треугольников следует, что либо $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, либо все стороны равны. В обоих случаях четырёхугольник является параллелограммом.

7) Утверждение верно. Если каждые две противолежащие вершины равноудалены от диагонали, соединяющей две другие вершины, то соответствующие пары треугольников равны, откуда получаем равенство противоположных сторон. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.