Упр.81 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) по двум сторонам и высоте;
2) по диагонали и двум высотам, проведенным к двум соседним сторонам.

Подробный ответ

1) Построение параллелограмма по двум сторонам и высоте.

Пусть даны стороны $$AB$$ и $$CD$$, а также высота $$EF$$, проведённая к одной из них. Построим отрезок $$MN$$, равный $$AB$$. Затем проведём прямую на расстоянии $$EF$$ от прямой $$MN$$.

Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$CD$$. Точку пересечения этой окружности с построенной прямой обозначим $$T$$. Аналогично из точки $$N$$ проведём окружность радиуса $$CD$$ и отметим точку пересечения $$K$$.

Тогда четырёхугольник $$MTKN$$ — параллелограмм: $$MT=NK=CD$$ по построению, а $$MN \parallel TK$$, так как обе точки $$T$$ и $$K$$ лежат на прямой, параллельной $$MN$$. Следовательно, противоположные стороны попарно равны и параллельны, значит, $$MTKN$$ — параллелограмм.

2) Построение параллелограмма по диагонали и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.

Пусть дана диагональ $$AB$$ и высоты $$CD$$ и $$EF$$, проведённые к двум соседним сторонам. Построим две взаимно перпендикулярные прямые и обозначим их пересечение буквой $$L$$.

На одной из этих прямых отложим отрезок $$LO=CD$$. Из точки $$O$$ проведём окружность радиуса $$AB$$ и отметим точку $$S$$ её пересечения с другой прямой. Тогда $$OS=AB$$.

Теперь построим две взаимно перпендикулярные прямые и обозначим их пересечение буквой $$H$$. На одной из них отложим $$HM=EF$$. Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$AB$$ и отметим точку $$K$$ её пересечения с другой прямой.

От луча $$KM$$ отложим угол, равный углу $$LSO$$. В точке $$M$$ построим перпендикуляр к прямой $$MH$$ и отметим точку $$N$$ на его пересечении с построенным лучом. Затем из точки $$K$$ проведём окружность радиуса $$MN$$ и отметим точку $$T$$ на пересечении с прямой $$KH$$.

Полученный четырёхугольник является искомым параллелограммом, так как его стороны построены с учётом заданной диагонали и заданных высот, а противоположные стороны получаются параллельными по построению.