Упр.809 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ известно, что $$AB=a$$, $$BC=b$$, $$a>b$$. Окружности, вписанные в треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$, касаются диагонали $$BD$$ в точках $$M$$ и $$K$$ соответственно. Найдите отрезок $$MK$$.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны, значит

$$AB=CD,\quad AD=BC.$$

Рассмотрим треугольники $$DAB$$ и $$BCD$$. У них

$$BD$$ — общая сторона,

$$AB=CD,\quad AD=BC.$$

Следовательно, $$\triangle DAB \cong \triangle BCD$$ по трём сторонам.

Пусть окружность, вписанная в $$\triangle DAB$$, касается диагонали $$BD$$ в точке $$M$$, а окружность, вписанная в $$\triangle BCD$$, — в точке $$K$$. Тогда отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, поэтому

$$BM=BE,\quad BK=BF,$$

где $$E$$ и $$F$$ — точки касания на сторонах $$AB$$ и $$BC$$ соответственно.

Обозначим

$$AE=CF=x.$$

Тогда

$$BE=AB-AE=a-x,$$

$$BF=BC-CF=b-x.$$

Значит,

$$BM=a-x,\quad BK=b-x.$$

Так как $$a>b$$, то точка $$M$$ лежит дальше от $$B$$, чем точка $$K$$, и

$$MK=BM-BK=(a-x)-(b-x)=a-b.$$

Ответ

$$a-b$$