Упр.807 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 807. Биссектриса угла BAD параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке M так, что ВМ : MC = 5 : 4. Найдите стороны параллелограмма. если периметр треугольника ВОС на 8 см больше периметра треугольника COD, где О — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Обозначим $$CM=x$$. Тогда из отношения $$BM:MC=5:4$$ получаем

$$BM=\frac{5}{4}x,$$

а значит

$$BC=BM+MC=\frac{5}{4}x+x=\frac{9}{4}x.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD\parallel BC$$, а биссектриса $$AM$$ угла $$BAD$$ даёт равенство углов

$$\angle BAM=\angle DAM.$$

Поскольку $$AD\parallel BC$$, то

$$\angle BAM=\angle BMA,$$

следовательно, треугольник $$ABM$$ равнобедренный и

$$AB=BM=\frac{5}{4}x.$$

Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, значит

$$BO=DO,\quad AO=CO.$$

Тогда периметры треугольников $$BOC$$ и $$COD$$ равны:

$$P_{BOC}=BO+OC+BC,$$

$$P_{COD}=CO+OD+CD.$$

С учётом равенств $$BO=DO$$, $$OC=CO$$ и $$CD=AB$$ получаем

$$P_{BOC}-P_{COD}=BC-AB.$$

По условию

$$P_{BOC}=P_{COD}+8,$$

значит

$$BC-AB=8.$$

Подставим найденные выражения:

$$\frac{9}{4}x-\frac{5}{4}x=8,$$

$$x=8.$$

Тогда

$$AB=\frac{5}{4}\cdot 8=10,$$

$$BC=\frac{9}{4}\cdot 8=18.$$

Ответ

$$AB=10\text{ см},\quad BC=18\text{ см}.$$