Упр.803 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 803. Окружность, построенная на диагонали АС ромба ABCD как на диаметре, проходит через середину стороны АВ. Найдите углы ромба.

Подробный ответ

Обозначим центр окружности через $$O$$. Так как окружность построена на диагонали $$AC$$ ромба $$ABCD$$ как на диаметре, то точки $$A$$, $$O$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, а $$O$$ — середина $$AC$$.

Пусть $$E$$ — середина стороны $$AB$$. Тогда по условию точка $$E$$ лежит на окружности, значит

$$OA=OE=OC=R.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам, поэтому $$AC \perp BD$$, а диагональ $$BD$$ является биссектрисой угла $$B$$. Следовательно, $$O$$ — точка пересечения диагоналей, а $$OE$$ в треугольнике $$AOB$$ является медианой к стороне $$AB$$.

Так как $$E$$ — середина $$AB$$, то

$$AE=BE.$$

Кроме того, $$OE=R$$, значит

$$AB=AE+BE=2AE=2OE=2R.$$

Но $$OA=R$$, следовательно

$$AB=2OA.$$

Значит, треугольник $$AOB$$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому

$$\angle ABO=30^\circ.$$

Так как диагональ $$BD$$ биссектрисa угла $$B$$ ромба, получаем

$$\angle B=2\angle ABO=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$

Сумма соседних углов ромба равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle A=180^\circ-\angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$