Упр.801 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 801. В трапеции ABCD известно, что ВС параллельна AD, точка М — середина стороны АВ. Найдите площадь треугольника CMD, если площадь данной трапеции равна S.

Подробный ответ

Обозначим через $$N$$ точку на стороне $$CD$$ так, что $$CN=DN$$. Тогда $$N$$ — середина стороны $$CD$$.

В трапеции $$ABCD$$ отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией, значит $$MN$$ — средняя линия трапеции и

$$MN \parallel BC \parallel AD.$$

Площадь трапеции выражается через среднюю линию и высоту:

$$S_{ABCD}=MN\cdot CH,$$

где $$CH$$ — высота трапеции.

Рассмотрим треугольники $$MCN$$ и $$MDN$$. Так как $$CO \perp MN$$ и $$HO \perp MN$$, то $$CO$$ и $$HO$$ — высоты этих треугольников к основанию $$MN$$. Тогда

$$S_{MCN}=\frac{1}{2}\,CO\cdot MN,$$

$$S_{MDN}=\frac{1}{2}\,HO\cdot MN.$$

Следовательно,

$$S_{CMD}=S_{MCN}+S_{MDN}=\frac{1}{2}MN\cdot(CO+HO).$$

Но $$CO+HO=CH$$, значит

$$S_{CMD}=\frac{1}{2}MN\cdot CH=\frac{1}{2}S_{ABCD}=\frac{S}{2}.$$