Упр.800 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 800. Большая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 9 см. Большая боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Обозначим меньшую боковую сторону трапеции через $$BC$$, а большую боковую сторону — через $$CD$$. По условию $$CD=BC$$, значит трапеция равнобедренная.

Пусть $$CH$$ — высота трапеции, тогда $$CH \perp AD$$ и $$CH \perp BC$$. Диагональ $$BD$$ пересекает высоту $$CH$$ в точке $$E$$, причём $$CE=15$$ см, $$HE=9$$ см. Следовательно,

$$CH=CE+HE=15+9=24.$$

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны, а диагональ $$BD$$ является биссектрисой угла $$\angle CDH$$. Поэтому в прямоугольных треугольниках $$DHE$$ и $$DCH$$ получаем пропорцию

$$\frac{HE}{DH}=\frac{CE}{CD}.$$

Подставим значения:

$$\frac{9}{DH}=\frac{15}{CD},$$

откуда

$$DH=\frac{3}{5}CD.$$

Но $$AD=BC+DH$$, а так как $$BC=CD$$, то

$$AD=CD+\frac{3}{5}CD=\frac{8}{5}CD.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHD$$:

$$CD^2=CH^2+DH^2.$$

Подставим найденные выражения:

$$CD^2=24^2+\left(\frac{3}{5}CD\right)^2,$$

$$CD^2=576+\frac{9}{25}CD^2,$$