Упр.80 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
1) по стороне, проведённой к ней высоте и диагонали;
2) по двум диагоналям и высоте;
3) по острому углу и двум высотам, проведенным к двум соседним сторонам.
Пусть требуется построить параллелограмм $$ABCD$$.
1) По стороне, проведённой к ней высоте и диагонали.
Построим отрезок $$MN$$, равный данной стороне $$AB$$. Через точку $$M$$ проведём окружность радиуса, равного данной диагонали. Затем построим прямую на расстоянии, равном данной высоте, от прямой $$MN$$. Точку пересечения этой прямой с окружностью обозначим $$K$$. На этой же прямой отложим отрезок $$KT=AB$$. Тогда четырёхугольник $$MKTN$$ — искомый параллелограмм.
Действительно, $$MN=KT$$ по построению, а расстояние между прямыми $$MN$$ и $$KT$$ равно данной высоте. Кроме того, $$MK$$ — диагональ, значит построенная фигура имеет нужные размеры и является параллелограммом.
2) По двум диагоналям и высоте.
Построим две параллельные прямые на расстоянии, равном данной высоте. На одной из них отметим произвольную точку $$M$$. Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса, равного одной диагонали. Точку пересечения окружности со второй прямой обозначим $$K$$. Найдём середину отрезка $$MK$$ — точку $$O$$. Из точки $$O$$ проведём окружность радиуса, равного половине второй диагонали. Точки пересечения этой окружности с данными параллельными прямыми обозначим $$T$$ и $$N$$. Тогда четырёхугольник $$MTKN$$ — искомый параллелограмм.
Так как диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, точка $$O$$ является их общей серединой. Кроме того, расстояние между прямыми равно высоте, а диагонали имеют заданные длины.
3) По острому углу и двум высотам, проведённым к двум соседним сторонам.
Построим угол $$M$$, равный данному острому углу. На одной стороне угла проведём прямую на расстоянии, равном первой высоте, от этой стороны. На другой стороне угла проведём прямую на расстоянии, равном второй высоте, от этой стороны. Обозначим точку пересечения первой прямой с другой стороной угла через $$N$$, а точку пересечения второй прямой с первой стороной угла через $$T$$. Точку пересечения этих двух построенных прямых обозначим $$K$$. Тогда четырёхугольник $$MNTK$$ — искомый параллелограмм.
В самом деле, стороны $$MN$$ и $$KT$$ параллельны одной стороне угла, а стороны $$MT$$ и $$NK$$ параллельны другой стороне угла. Следовательно, противоположные стороны попарно параллельны, значит полученный четырёхугольник — параллелограмм.
Ответ
Параллелограмм строится по указанным данным с помощью окружностей, параллельных прямых и отложенных отрезков; в каждом случае получается искомый параллелограмм.