Упр.799 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 799. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

Обозначим меньшую боковую сторону трапеции через $$CD$$. По условию равнобокая трапеция, значит $$AB=CD$$, а основания $$AD \parallel BC$$.

Диагональ $$BD$$ делит высоту $$CH$$, проведённую из вершины тупого угла $$C$$, на отрезки $$CE=15$$ см и $$EH=12$$ см, поэтому

$$CH=CE+EH=15+12=27.$$

Так как трапеция равнобокая, то $$\triangle BCD$$ равнобедренный, следовательно, $$\angle CBD=\angle CDB$$. Поскольку $$AD \parallel BC$$, то

$$\angle ADB=\angle CBD=\angle CDB.$$

Значит, в треугольнике $$CHD$$ отрезок $$DE$$ является биссектрисой угла при вершине $$D$$. По теореме о биссектрисе:

$$\frac{HE}{DH}=\frac{CE}{CD}.$$

Подставим значения:

$$\frac{12}{DH}=\frac{15}{CD},$$

откуда

$$DH=\frac{4}{5}CD.$$

Но в трапеции

$$DH=\frac{1}{2}(AD-BC).$$

Так как трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$, а из равенства боковых сторон и свойств трапеции получаем

$$BC=AD-2DH.$$

Удобнее выразить основание через $$CD$$. Из соотношения для биссектрисы:

$$\frac{4}{5}CD=\frac{1}{2}(AD-CD),$$

тогда

$$8CD=5AD-5CD,$$

$$5AD=13CD,$$

$$AD=\frac{13}{5}CD.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHD$$:

$$CD^2=CH^2+DH^2.$$

Подставим $$CH=27$$ и $$DH=\frac{4}{5}CD$$:

$$CD^2=27^2+\left(\frac{4}{5}CD\right)^2,$$

$$CD^2=729+\frac{16}{25}CD^2,$$

$$\frac{9}{25}CD^2=729,$$

$$CD^2=2025,$$

$$CD=45.$$

Тогда

$$AD=\frac{13}{5}\cdot 45=117.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH.$$

Так как $$BC=CD=45$$, получаем

$$S=\frac{1}{2}(117+45)\cdot 27=\frac{162}{2}\cdot 27=2187.$$

Ответ

$$2187\ \text{см}^2$$