Упр.798 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса $$12\ \text{см}$$. Большая из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых равен $$16\ \text{см}$$. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции через $$M$$, $$N$$, $$E$$.

Так как окружность вписана, то радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны соответствующим сторонам трапеции:

$$OM \perp BC,\quad ON \perp AD,\quad OE \perp CD,$$

и $$OM=ON=OE=R=12.$$

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

$$BM=AN=12,$$

$$CE=DE=16.$$

Поскольку трапеция прямоугольная, то $$\angle A=\angle B=90^\circ,$$ а значит, высота трапеции равна диаметру вписанной окружности:

$$MN=2R=24.$$

Теперь найдём основания трапеции:

$$AD=AN+DN=12+16=28,$$

$$BC=BM+CM=12+9=21.$$

Чтобы найти $$CM$$, рассмотрим треугольник $$COD$$. Так как $$CO$$ и $$DO$$ — биссектрисы углов при вершинах $$C$$ и $$D$$, а сумма углов при боковой стороне трапеции равна $$180^\circ$$, то

$$\angle C+\angle D=90^\circ.$$

Следовательно, угол между биссектрисами равен

$$\angle COD=90^\circ.$$

Значит, треугольник $$COD$$ прямоугольный, и для точки касания $$E$$ выполняется свойство высоты к гипотенузе:

$$OE^2=CE\cdot DE.$$

Тогда

$$12^2=CE\cdot 16,$$

$$CE=\frac{144}{16}=9.$$

Следовательно,

$$CM=CE=9,$$

и потому

$$BC=BM+CM=12+9=21.$$