Упр.798 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 798. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Большая из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Обозначим точки касания окружности со сторонами трапеции через $M$, $N$, $E$.

Так как окружность вписана, то радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны соответствующим сторонам трапеции:

$$OM \perp BC,\quad ON \perp AD,\quad OE \perp CD,$$

и $$OM=ON=OE=R=12.$$

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

$$BM=AN=12,$$

$$CE=DE=16.$$

Поскольку трапеция прямоугольная, то $$\angle A=\angle B=90^\circ,$$ а значит, высота трапеции равна диаметру вписанной окружности:

$$MN=2R=24.$$

Теперь найдём основания трапеции:

$$AD=AN+DN=12+16=28,$$

$$BC=BM+CM=12+9=21.$$

Чтобы найти $CM$, рассмотрим треугольник $COD$. Так как $CO$ и $DO$ — биссектрисы углов при вершинах $C$ и $D$, а сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$, то

$$\angle C+\angle D=90^\circ.$$

Следовательно, угол между биссектрисами равен

$$\angle COD=90^\circ.$$

Значит, треугольник $COD$ прямоугольный, и для точки касания $E$ выполняется свойство высоты к гипотенузе:

$$OE^2=CE\cdot DE.$$

Тогда

$$12^2=CE\cdot 16,$$

$$CE=\frac{144}{16}=9.$$

Следовательно,

$$CM=CE=9,$$

и потому

$$BC=BM+CM=12+9=21.$$