Упр.797 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 797. В равнобокую трапецию вписана окружность. Одна из её боковых сторон точкой касания делится на отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Пусть окружность касается боковой стороны $$AB$$ в точке $$E$$, основания $$AD$$ — в точке $$N$$, а верхнего основания $$BC$$ — в точке $$M$$. Тогда из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:

$$AE=AN=9,\qquad BE=BM=4.$$

Так как трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$, а значит, и отрезки на второй боковой стороне равны соответствующим отрезкам на первой. Кроме того, в четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=AD+BC.$$

Но $$AB=AE+BE=9+4=13,$$ следовательно,

$$AD+BC=2\cdot 13=26.$$

Теперь найдём радиус окружности. Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны сторонам, поэтому $$OE\perp AB$$. Отрезок $$AO$$ — биссектриса угла при вершине $$A$$, а $$BO$$ — биссектриса угла при вершине $$B$$. Тогда точка $$O$$ равноудалена от сторон угла, и в треугольнике $$AOB$$ имеем:

$$OE^2=AE\cdot BE.$$

Подставим значения:

$$OE^2=9\cdot 4=36,$$

$$OE=6.$$

Высота трапеции равна расстоянию между основаниями, то есть

$$MN=2OE=12.$$

Осталось найти основания. Так как трапеция равнобокая и окружность касается обоих оснований, то отрезки от точек касания до концов основания равны:

$$AD=2AN=2\cdot 9=18,$$

$$BC=2BM=2\cdot 4=8.$$

Тогда площадь трапеции:

$$S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot MN=\frac{1}{2}(18+8)\cdot 12=156.$$