Упр.796 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 796. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно а.

Обозначим меньшее основание трапеции через $$BC=a$$, а большее основание — через $$AD$$. Проведём высоту $$BH$$ к основанию $$AD$$.

Так как трапеция равнобокая, то $$\angle A=\angle D$$, а также $$AB=CD$$.

Диагональ $$BD$$ является биссектрисой острого угла $$D$$, значит

$$\angle CDB=\angle BDA.$$

Но так как $$AD \parallel BC$$, то при секущей $$BD$$ имеем

$$\angle CBD=\angle BDA.$$

Следовательно, в треугольнике $$BCD$$ углы при основании равны, значит он равнобедренный. Тогда

$$CD=BC=a.$$

Поскольку $$AB=CD$$, получаем

$$AB=a.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. Так как $$BD$$ — биссектриса угла $$D$$, то

$$\angle BDA=\frac{1}{2}\angle D=\frac{1}{2}\angle A.$$

Сумма углов треугольника $$ABD$$ равна $$180^\circ$$, а угол при точке $$B$$ прямой, поэтому

$$\angle BDA+\angle BAD=90^\circ.$$

Подставим $$\angle BDA=\frac{1}{2}\angle A$$:

$$\frac{1}{2}\angle A+\angle A=90^\circ,$$

$$\frac{3}{2}\angle A=90^\circ,$$

$$\angle A=60^\circ.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$BH=AB\sin\angle A=a\cdot \sin 60^\circ=\frac{a\sqrt{3}}{2},$$

$$AH=AB\cos\angle A=a\cdot \cos 60^\circ=\frac{a}{2}.$$

Так как $$AH=\frac{1}{2}(AD-BC)$$, то

$$\frac{a}{2}=\frac{1}{2}(AD-a),$$

$$a=AD-a,$$

$$AD=2a.$$

Тогда площадь трапеции равна

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH,$$

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(2a+a)\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Ответ

$$\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$$