Упр.795 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 795. Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции — 25 см. Найдите площадь трапеции.
Пусть $$MN$$ — средняя линия трапеции $$ABCD$$, $$BH$$ — её высота. Тогда площадь трапеции выражается формулой
$$S_{ABCD}=MN\cdot BH.$$
Построим через точку $$B$$ прямую $$BE$$, параллельную диагонали $$AC$$, и пусть $$E$$ лежит на продолжении основания $$AD$$. Тогда $$BE \parallel AC$$, а так как $$AC \perp BD$$, то и $$BE \perp BD$$.
В четырёхугольнике $$EBCA$$ противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм. Поэтому
$$AE=BC,\qquad BE=AC=48.$$
В прямоугольном треугольнике $$EBD$$ имеем
$$ED=AE+AD=BC+AD.$$
Но $$MN=\frac{1}{2}(AD+BC)$$, значит
$$ED=2MN=2\cdot 25=50.$$
Так как $$\triangle EBD$$ прямоугольный, то
$$BE^2=EH\cdot ED,$$
где $$EH$$ — проекция катета $$BE$$ на гипотенузу $$ED$$. Тогда
$$48^2=EH\cdot 50,$$
$$EH=\frac{48^2}{50}=\frac{2304}{50}=46{,}08.$$
В прямоугольном треугольнике $$EBH$$:
$$BE^2=EH^2+BH^2,$$
$$48^2=46{,}08^2+BH^2,$$
$$BH^2=2304-2123{,}3664=180{,}6336,$$
$$BH=13{,}44.$$
Теперь найдём площадь трапеции:
$$S_{ABCD}=MN\cdot BH=25\cdot 13{,}44=336.$$
Ответ
$$336\ \text{см}^2$$