Упр.794 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 794. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около неё, равен 12,5 см.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — равнобокая трапеция, $$BD \perp AB$$, $$AB=15$$ см, $$R=12{,}5$$ см. Обозначим через $$O$$ центр описанной окружности, а через $$BH$$ — высоту трапеции.

Так как трапеция равнобокая, она является вписанной, а её диагональ $$BD$$ перпендикулярна боковой стороне $$AB$$. Тогда $$\angle ABD=90^\circ$$, значит, отрезок $$AD$$ является диаметром описанной окружности:

$$AD=2R=2\cdot 12{,}5=25.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. По теореме о катете и проекции:

$$AB^2=AH\cdot AD.$$

Тогда

$$15^2=AH\cdot 25,$$

$$AH=\frac{225}{25}=9.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$AB^2=AH^2+BH^2,$$

$$15^2=9^2+BH^2,$$

$$225=81+BH^2,$$

$$BH^2=144,\quad BH=12.$$

В равнобокой трапеции проекции боковых сторон на основание равны, поэтому