Упр.793 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 793. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 24 см и 40 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Подробный ответ

Обозначим основания трапеции через $$AD=40$$ см и $$BC=24$$ см, а высоту через $$BH$$.

Пусть диагональ $$BD$$ перпендикулярна боковой стороне $$AB$$. Тогда в трапеции $$ABCD$$ площадь можно найти через основание $$AD$$ и высоту $$BH$$:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH.$$

Найдём высоту. Опустим из точки $$B$$ перпендикуляр на основание $$AD$$, пусть его основание — точка $$H$$. Тогда в равнобокой трапеции

$$DH=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(40+24)=32.$$

Следовательно,

$$AH=AD-DH=40-32=8.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. Так как $$BD\perp AB$$, то $$\angle ABD=90^\circ$$, и по теореме о площади прямоугольного треугольника:

$$BH^2=AH\cdot DH=8\cdot 32=256,$$

откуда

$$BH=16.$$