Упр.791 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

1) параллелограмм, отличный от прямоугольника;
2) прямоугольник.

Подробный ответ

Обозначим площадь данной трапеции через $$S$$. Построим фигуры с той же площадью, используя разложение трапеции на прямоугольник и треугольники.

1) Построение равновеликого параллелограмма.

Отметим точки $$E$$ и $$F$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$. Тогда отрезок $$EF$$ является средней линией трапеции, поэтому

$$EF=\frac{BC+AD}{2}.$$

Опустим перпендикуляр $$BH$$ на основание $$AD$$. Через точку $$M$$ проведём две взаимно перпендикулярные прямые. На одной из них отложим $$MT=EF$$, на другой — $$MG=BH$$. В точке $$G$$ восстановим перпендикуляр к $$MG$$ и отметим на нём точку $$N$$. На прямой $$GN$$ отложим $$NK=MT$$.

Тогда четырёхугольник $$MGKT$$ — параллелограмм, так как $$MG \parallel KT$$ и $$MT \parallel GK$$. Его площадь равна

$$S_{MGKT}=MT\cdot MG=EF\cdot BH.$$

Но

$$EF\cdot BH=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=S,$$

значит, построенный параллелограмм равновелик данной трапеции. Он не является прямоугольником, так как стороны $$MG$$ и $$MT$$ выбраны на взаимно перпендикулярных прямых, а соседние стороны параллелограмма не образуют прямого угла.

2) Построение равновеликого прямоугольника.

Снова отметим точки $$E$$ и $$F$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$, а также опустим перпендикуляр $$BH$$ на $$AD$$. Через точку $$M$$ проведём две взаимно перпендикулярные прямые. На одной из них отложим $$MT=EF$$, на другой — $$MN=BH$$. В точке $$N$$ восстановим перпендикуляр к $$MN$$ и отложим на нём $$NK=MT$$.

Получим прямоугольник $$MNKT$$, у которого

$$MN=BH,\qquad NK=MT=EF.$$

Следовательно, его площадь равна

$$S_{MNKT}=MN\cdot NK=BH\cdot EF=S,$$

то есть прямоугольник равновелик данной трапеции.