Упр.790 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 790. Докажите, что прямая, которая проходит через середину средней линии трапеции и пересекает её основания, разбивает данную трапецию на два равновеликих многоугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, где $$AD \parallel BC$$. Пусть $$BH$$ и $$CG$$ — высоты трапеции, $$EF$$ — её средняя линия, а точка $$O$$ — середина отрезка $$EF$$.

Так как $$EF$$ — средняя линия трапеции, то она соединяет середины боковых сторон, значит $$AE=BE$$ и $$CF=DF$$, а также $$EF \parallel AD \parallel BC$$.

Проведённая через точку $$O$$ прямая пересекает основания трапеции в точках $$M$$ и $$N$$. Тогда в трапеции $$ABMN$$ отрезок $$EO$$ параллелен основаниям $$AN$$ и $$BM$$, а точка $$E$$ — середина боковой стороны $$AB$$. Следовательно, $$EO$$ является средней линией трапеции $$ABMN$$.

Тогда площадь трапеции $$ABMN$$ равна произведению средней линии на высоту:

$$S_{ABMN}=EO\cdot BH.$$

Аналогично, в трапеции $$DCMN$$ отрезок $$FO$$ параллелен основаниям $$DN$$ и $$CM$$, а точка $$F$$ — середина боковой стороны $$CD$$. Значит, $$FO$$ — средняя линия трапеции $$DCMN$$, поэтому

$$S_{DCMN}=FO\cdot CG.$$

Но по условию $$EO=FO$$, а в трапеции высоты равны, то есть $$BH=CG$$. Следовательно,

$$S_{ABMN}=EO\cdot BH=FO\cdot CG=S_{DCMN}.$$

Значит, прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая её основания, разбивает трапецию на два равновеликих многоугольника.