Упр.79 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 79. На стороне ВС параллелограмма АВCD существует такая точка М, что ВМ = MD = CD. Найдите углы параллелограмма, если AD = BD.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные углы равны, значит

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D.$$

Рассмотрим треугольник $$CDM$$. Так как $$MD=CD$$, то он равнобедренный, следовательно,

$$\angle DMC=\angle DCM.$$

Но точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой, поэтому

$$\angle DCM=\angle DCB=\angle A.$$

Значит,

$$\angle DMC=\angle A.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BMD$$. Так как $$BM=MD$$, он равнобедренный, поэтому

$$\angle MBD=\angle BDM.$$

Угол $$\angle BMD$$ смежный с углом $$\angle DMC$$, значит

$$\angle BMD=180^\circ-\angle DMC=180^\circ-\angle A.$$

В треугольнике $$BMD$$ сумма углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle MBD+\angle BDM+\angle BMD=180^\circ.$$

Так как $$\angle MBD=\angle BDM$$, получаем

$$2\angle MBD+180^\circ-\angle A=180^\circ,$$

откуда

$$2\angle MBD=\angle A,\qquad \angle MBD=\frac{1}{2}\angle A.$$

Рассмотрим треугольник $$ADB$$. По условию $$AD=BD$$, значит он равнобедренный, и

$$\angle DBA=\angle DAB=\angle A.$$

Угол $$\angle B$$ в параллелограмме равен сумме углов $$\angle DBA$$ и $$\angle CBD$$:

$$\angle B=\angle DBA+\angle CBD.$$

Но $$\angle CBD=\angle MBD=\frac{1}{2}\angle A$$, поэтому

$$\angle B=\angle A+\frac{1}{2}\angle A=\frac{3}{2}\angle A.$$

Соседние углы параллелограмма supplementary:

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Тогда

$$\angle A+\frac{3}{2}\angle A=180^\circ,$$

$$\frac{5}{2}\angle A=180^\circ,$$

$$\angle A=72^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle B=\frac{3}{2}\cdot 72^\circ=108^\circ.$$

Так как противоположные углы параллелограмма равны, то

$$\angle C=72^\circ,\qquad \angle D=108^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=\angle C=72^\circ,\qquad \angle B=\angle D=108^\circ.$$