Упр.789 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 789. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 28 см, а острый угол — 30°. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.
Обозначим основания трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, а высоту через $$CH$$.
Так как трапеция прямоугольная, то $$\angle A=\angle B=90^\circ$$. Если в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:
$$AD+BC=AB+CD.$$
По условию большая боковая сторона $$CD=28$$ см, а острый угол $$\angle D=30^\circ$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCH$$. В нём $$CH$$ — высота трапеции, поэтому
$$CH=CD\cdot \sin 30^\circ=28\cdot \frac12=14.$$
Также
$$DH=CD\cdot \cos 30^\circ=28\cdot \frac{\sqrt3}{2}=14\sqrt3.$$
В прямоугольнике $$ABCH$$ имеем $$AB=CH=14$$ и $$AH=BC$$.
Тогда
$$AD=AH+DH=BC+14\sqrt3.$$
Подставим это в равенство сумм противоположных сторон:
$$AD+BC=AB+CD,$$
$$\left(BC+14\sqrt3\right)+BC=14+28,$$
$$2BC=42-14\sqrt3,$$
$$BC=21-7\sqrt3.$$
Теперь найдём площадь трапеции:
$$S=\frac12(AD+BC)\cdot CH.$$
Так как $$AD+BC=AB+CD=14+28=42,$$ то
$$S=\frac12\cdot 42\cdot 14=294.$$
Ответ
$$294\ \text{см}^2$$