Упр.788 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна $$8\ \text{см}$$, а острый угол — $$45^\circ$$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Обозначим меньшую боковую сторону трапеции через $$AB$$. По условию $$AB=8$$ см, трапеция прямоугольная, значит $$\angle A=\angle B=90^\circ$$.

Пусть $$CH$$ — высота трапеции. Тогда в прямоугольнике $$ABCH$$ имеем

$$CH=AB=8,\qquad AH=BC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCH$$. Так как острый угол трапеции равен $$45^\circ$$, то

$$\angle D=45^\circ,$$

следовательно, треугольник $$DCH$$ — равнобедренный прямоугольный, и потому

$$DH=CH=8.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$CD^2=CH^2+DH^2$$
$$CD^2=8^2+8^2$$
$$CD=8\sqrt{2}.$$

Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Кроме того,

$$AD=AH+DH=BC+8.$$

Подставим найденные значения:

$$8+8\sqrt{2}=BC+(BC+8)$$
$$8+8\sqrt{2}=2BC+8$$
$$2BC=8\sqrt{2}$$
$$BC=4\sqrt{2}.$$

Тогда площадь трапеции равна

$$S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH.$$

Найдём $$AD$$:

$$AD=BC+8=4\sqrt{2}+8.$$

Следовательно,

$$S=\frac{1}{2}\bigl((4\sqrt{2}+8)+4\sqrt{2}\bigr)\cdot 8$$
$$S=\frac{1}{2}(8\sqrt{2}+8)\cdot 8$$
$$S=32\sqrt{2}+32.$$

Ответ

$$32\sqrt{2}+32\ \text{см}^2$$