Упр.788 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 788. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8 см, а острый угол — 45°. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Обозначим меньшую боковую сторону трапеции через $$AB$$. По условию $$AB=8$$ см, трапеция прямоугольная, значит $$\angle A=\angle B=90^\circ$$.

Пусть $$CH$$ — высота трапеции. Тогда в прямоугольнике $$ABCH$$ имеем

$$CH=AB=8,\qquad AH=BC.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DCH$$. Так как острый угол трапеции равен $$45^\circ$$, то

$$\angle D=45^\circ,$$

следовательно, треугольник $$DCH$$ — равнобедренный прямоугольный, и потому

$$DH=CH=8.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$ CD^2=CH^2+DH^2 $$
$$ CD^2=8^2+8^2 $$
$$ CD=8\sqrt{2}. $$

Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Кроме того,

$$AD=AH+DH=BC+8.$$

Подставим найденные значения:

$$ 8+8\sqrt{2}=BC+(BC+8) $$
$$ 8+8\sqrt{2}=2BC+8 $$
$$ 2BC=8\sqrt{2} $$
$$ BC=4\sqrt{2}. $$

Тогда площадь трапеции равна

$$ S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CH. $$

Найдём $$AD$$:

$$ AD=BC+8=4\sqrt{2}+8. $$

Следовательно,

$$ S=\frac{1}{2}\bigl((4\sqrt{2}+8)+4\sqrt{2}\bigr)\cdot 8 $$
$$ S=\frac{1}{2}(8\sqrt{2}+8)\cdot 8 $$
$$ S=32\sqrt{2}+32. $$

Ответ

$$32\sqrt{2}+32\ \text{см}^2$$