Упр.787 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 787. Основания равнобокой трапеции равны 32 см и 50 см. Чему равна площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность?

Подробный ответ

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Для трапеции с основаниями $$32$$ см и $$50$$ см, а боковыми сторонами $$c$$ и $$d$$, имеем:

$$32+50=c+d.$$

Так как трапеция равнобокая, то $$c=d$$. Тогда

$$32+50=2c,$$

откуда

$$c=d=41\text{ см}.$$

Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Тогда по краям получатся два равных прямоугольных треугольника, у каждого из которых горизонтальный катет равен

$$\frac{50-32}{2}=9\text{ см}.$$

Высота трапеции:

$$h=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{1681-81}=\sqrt{1600}=40\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{32+50}{2}\cdot 40=41\cdot 40=1640\text{ см}^2.$$