Упр.785 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 785. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота — 8 см.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ — точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции $$ABCD$$. Тогда $$AD \parallel BC$$, а прямая $$BE$$ — биссектриса угла $$B$$, прямая $$CE$$ — биссектриса угла $$C$$.

Из свойств биссектрис и параллельных прямых получаем:

$$\angle AEB=\angle CBE=\angle ABE,$$

значит, $$\triangle ABE$$ равнобедренный, поэтому $$AE=AB=10$$.

Аналогично:

$$\angle DEC=\angle BCE=\angle DCE,$$

следовательно, $$\triangle DCE$$ равнобедренный, и $$DE=CD=17$$.

Опустим высоты $$BH$$ и $$CG$$ на основание $$AD$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$ AB^2=AH^2+BH^2 \\ 10^2=AH^2+8^2 \\ 100=AH^2+64 \\ AH^2=36,\quad AH=6 $$

В прямоугольном треугольнике $$DCG$$:

$$ CD^2=DG^2+CG^2 \\ 17^2=DG^2+8^2 \\ 289=DG^2+64 \\ DG^2=225,\quad DG=15 $$

Так как $$A,E,D$$ лежат на одной прямой, то

$$AD=AE+DE=10+17=27.$$