Упр.784 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 784. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если её боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота — 15 см.
Обозначим основания трапеции $$AD$$ и $$BC$$. Тогда $$AD \parallel BC$$.
Пусть $$AE$$ и $$DE$$ — биссектрисы острых углов при основании, а точка $$E$$ лежит на другом основании.
Так как $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ имеем
$$\angle BEA=\angle DAE=\angle BAE,$$
следовательно, $$\triangle ABE$$ равнобедренный, и потому $$BE=AB=25$$.
Аналогично, так как $$DE$$ — биссектриса угла $$D$$, то
$$\angle CED=\angle ADE=\angle CDE,$$
значит, $$\triangle DCE$$ равнобедренный, и потому $$CE=CD=17$$.
Тогда
$$BC=BE+CE=25+17=42.$$
Опустим высоты $$BH$$ и $$CG$$ на основание $$AD$$. По условию $$BH=CG=15$$.
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:
$$AB^2=AH^2+BH^2,$$
$$25^2=AH^2+15^2,$$
$$625=AH^2+225,$$
$$AH^2=400,$$
$$AH=20.$$
В прямоугольном треугольнике $$DCG$$:
$$CD^2=DG^2+CG^2,$$
$$17^2=DG^2+15^2,$$
$$289=DG^2+225,$$
$$DG^2=64,$$
$$DG=8.$$
Теперь найдём основание $$AD$$:
$$AD=AH+HG+DG.$$
Так как $$HG=BC=42$$, то
$$AD=20+42+8=70.$$
Площадь трапеции:
$$S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot h,$$
$$S=\frac{1}{2}(70+42)\cdot 15=840.$$
Ответ
$$840\ \text{см}^2$$