Упр.783 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 783. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 17 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольную трапецию $$ABCD$$, где $$AD \parallel BC$$, $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, $$AD=17$$ см, $$BC=9$$ см. Диагональ $$AC$$ является биссектрисой тупого угла $$C$$.

Проведём высоту $$CH$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$CH \perp AD$$ и $$AH \parallel BC$$, значит четырёхугольник $$ABCH$$ — прямоугольник. Следовательно,

$$AH=BC=9.$$

Так как $$AC$$ — биссектриса угла $$C$$, то

$$\angle DAC=\angle BCA.$$

Но $$AD \parallel BC$$, поэтому

$$\angle DAC=\angle BCA=\angle DCA.$$

Значит, в треугольнике $$ACD$$ углы при основании равны, следовательно, он равнобедренный:

$$CD=AD=17.$$

Теперь найдём $$CH$$. В прямоугольном треугольнике $$DCH$$:

$$DH=AD-AH=17-9=8.$$

По теореме Пифагора:

$$CD^2=CH^2+DH^2$$

$$17^2=CH^2+8^2$$