Упр.782 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 782. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Подробный ответ

Обозначим основания трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, а среднюю линию — через $$EF$$. Тогда

$$EF=\frac{AD+BC}{2}.$$

По условию диагональ делит среднюю линию на отрезки $$EO=6$$ см и $$OF=12$$ см, значит

$$EF=EO+OF=6+12=18.$$

Следовательно,

$$\frac{AD+BC}{2}=18,$$

откуда

$$AD+BC=36.$$

Так как диагональ $$AC$$ является биссектрисой острого угла равнобокой трапеции, то треугольник, образованный этой диагональю и боковой стороной, равнобедренный, поэтому

$$BC=2\cdot EO=12,$$

$$AD=2\cdot OF=24.$$

Теперь найдём высоту трапеции. Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на основание $$AD$$. Тогда

$$DH=AD-AH=24-18=6.$$

В прямоугольном треугольнике $$CDH$$:

$$CD^2=CH^2+DH^2,$$

а так как трапеция равнобокая, то $$CD=AB=12$$. Получаем

$$12^2=CH^2+6^2,$$

$$144=CH^2+36,$$

$$CH^2=108,$$

$$CH=6\sqrt{3}.$$

Площадь трапеции: