Упр.78 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 78. Точка пересечения биссектрис двух соседних углов параллелограмма принадлежит его стороне. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.

Обозначим точку пересечения биссектрис углов $$A$$ и $$D$$ через $$E$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD \parallel BC$$.

Рассмотрим секущую $$AE$$. Тогда

$$\angle BEA=\angle EAD=\angle BAE,$$

следовательно, в треугольнике $$ABE$$ углы при основании равны, значит, треугольник $$ABE$$ равнобедренный и

$$AB=BE.$$

Аналогично, для секущей $$DE$$ имеем

$$\angle CED=\angle EDA=\angle CDE,$$

поэтому треугольник $$DCE$$ равнобедренный и

$$CD=CE.$$

Теперь в параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны равны:

$$AB=CD,$$

$$BC=AD.$$

Точка $$E$$ лежит на стороне $$BC$$, значит

$$BC=BE+EC.$$

Подставим найденные равенства:

$$BC=AB+CD.$$

Но $$AB=CD$$, значит

$$BC=AB+AB=2AB.$$

Следовательно,

$$AB:BC=1:2.$$

Ответ

$$1:2$$