Упр.771 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 771. На плоскости даны n точек (n > 3), никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в данных точках, который не содержит ни одной из остальных (n-3) точек.

Рассмотрим произвольный треугольник, вершины которого выбраны из данных точек.

Если внутри этого треугольника лежит хотя бы одна из остальных точек, то заменим одну из вершин треугольника на эту внутреннюю точку. Получим новый треугольник, который целиком лежит внутри прежнего, а значит, содержит меньшее число данных точек внутри себя.

Повторяя это действие, будем каждый раз получать треугольник, внутри которого число данных точек уменьшается хотя бы на одну. Так как данных точек конечное число, этот процесс не может продолжаться бесконечно.

Следовательно, в конце концов получится треугольник с вершинами в данных точках, внутри которого не останется ни одной из остальных точек.

Ответ

Существует треугольник с вершинами в данных точках, не содержащий ни одной из остальных точек.