Упр.770 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 770. Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удален от концов её боковой стороны на 12 см и 16 см. Найдите периметр трапеции.

Обозначим радиус вписанной окружности через $$R$$. Тогда расстояния от центра $$O$$ до сторон трапеции равны радиусу, то есть $$OF=OH=OE=R$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$COD$$. По условию $$OC=12$$ см, $$OD=16$$ см, значит

$$CD^2=OC^2+OD^2=12^2+16^2=144+256=400,$$

откуда $$CD=20$$ см.

Так как $$OH\perp CD$$, то в прямоугольном треугольнике $$COD$$ высота $$OH$$ делит гипотенузу $$CD$$ на отрезки, и

$$OC^2=CH\cdot CD.$$

Тогда

$$12^2=CH\cdot 20,$$

$$CH=\frac{144}{20}=7{,}2\text{ см}.$$

Следовательно,

$$DH=CD-CH=20-7{,}2=12{,}8\text{ см}.$$

В равнобокой трапеции $$ABCD$$ углы при основаниях равны, поэтому $$\angle A=\angle D$$ и $$\angle B=\angle C$$. Отсюда треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ равнобедренные, а $$OE$$ и $$OF$$ являются в них одновременно высотами и медианами.

Тогда

$$AD=2DE,$$

$$BC=2CF.$$

Так как $$DE=OH+DH=R+DH$$ и $$CF=CH+OF=CH+R$$, то удобнее воспользоваться тем, что в равнобедренных треугольниках $$AOD$$ и $$BOC$$ отрезки от точки касания до концов основания равны соответствующим проекциям. Получаем:

$$AD=2DH=2\cdot 12{,}8=25{,}6\text{ см},$$

$$BC=2CH=2\cdot 7{,}2=14{,}4\text{ см}.$$

Периметр трапеции:

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD.$$

Для четырёхугольника, около которого можно описать окружность, суммы противоположных сторон равны, значит

$$AB+CD=BC+AD,$$

откуда

$$AB=BC+AD-CD=14{,}4+25{,}6-20=20\text{ см}.$$

Тогда

$$P_{ABCD}=20+14{,}4+20+25{,}6=80\text{ см}.$$

Ответ

$$80\text{ см}$$