Упр.77 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 77. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм, вершинами которого являются данные точки. Сколько решений имеет задача?

Подробный ответ

Пусть даны точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, не лежащие на одной прямой. Чтобы построить параллелограмм с вершинами в этих точках, нужно найти четвёртую вершину $$D$$.

Рассмотрим случай, когда точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ — соседние вершины параллелограмма. Тогда в параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$AD=BC,\qquad CD=AB.$$

Поэтому точка $$D$$ должна лежать одновременно на окружности с центром в $$A$$ и радиусом $$BC$$ и на окружности с центром в $$C$$ и радиусом $$AB$$. Их пересечение даёт одну из возможных точек $$D$$.

Аналогично можно рассмотреть ещё два случая, когда соседними вершинами параллелограмма являются пары $$A$$ и $$C$$, либо $$B$$ и $$C$$. В каждом случае четвёртая вершина определяется пересечением соответствующих окружностей.

Таким образом, возможны три различных параллелограмма.