Упр.768 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 768. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М. Найдите углы треугольника АВС, если угол AMB = 117°.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный и $$AB=BC$$, то углы при основании равны:

$$\angle A=\angle C.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle B=180^\circ-2\angle A.$$

Поскольку $$AM$$ — биссектриса угла $$A$$, имеем

$$\angle BAM=\frac{1}{2}\angle A.$$

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. В нём

$$\angle BAM+\angle ABM+\angle AMB=180^\circ.$$

Подставим известные выражения:

$$\frac{1}{2}\angle A+\angle B+117^\circ=180^\circ.$$

Так как $$\angle B=180^\circ-2\angle A$$, получаем

$$\frac{1}{2}\angle A+180^\circ-2\angle A+117^\circ=180^\circ,$$

$$-\frac{3}{2}\angle A=-117^\circ,$$

$$\angle A=78^\circ.$$

Тогда

$$\angle C=78^\circ,$$

$$\angle B=180^\circ-2\cdot 78^\circ=24^\circ.$$

Ответ

$$\angle A=78^\circ,\ \angle B=24^\circ,\ \angle C=78^\circ.$$