Упр.767 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 767. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон является постоянной для данного треугольника.

Обозначим через $$ON$$, $$OF$$ и $$OE$$ расстояния от точки $$O$$ до сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ соответственно.

Тогда площади треугольников $$AOB$$, $$BOC$$ и $$AOC$$ выражаются так:

$$S_{AOB}=\frac12\cdot AB\cdot ON,$$

$$S_{BOC}=\frac12\cdot BC\cdot OF,$$

$$S_{AOC}=\frac12\cdot AC\cdot OE.$$

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то

$$AB=BC=AC=a.$$

С другой стороны, площадь всего треугольника равна сумме площадей трёх указанных треугольников:

$$S_{ABC}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{AOC}.$$

Подставим найденные выражения:

$$ S_{ABC}=\frac12 a\cdot ON+\frac12 a\cdot OF+\frac12 a\cdot OE =\frac{a}{2}(ON+OF+OE). $$

Но площадь равностороннего треугольника со стороной $$a$$ равна

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Следовательно,

$$\frac{a}{2}(ON+OF+OE)=\frac{a^2\sqrt3}{4},$$

откуда

$$ON+OF+OE=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Значит, сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна $$\frac{a\sqrt3}{2}$$.

Ответ

$$ON+OF+OE=\frac{a\sqrt3}{2}$$ — постоянная величина.