Упр.766 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 766. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D. Проведите через эту точку прямую так, чтобы она разбила данный треугольник на два равновеликих многоугольника.

Отметим точку $$M$$ — середину отрезка $$BC$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AM$$ является медианой, а значит, делит треугольник на два равновеликих треугольника:

$$S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ACM}.$$

Теперь проведём через точку $$D$$ прямую, параллельную $$AM$$, и пусть она пересечёт отрезок $$BC$$ в точке $$N$$. Тогда треугольники $$DNC$$ и $$AMC$$ подобны, а поскольку $$D$$ — середина основания $$AC$$? Нет, это не требуется. Используем другое свойство: прямая, проведённая через точку на стороне треугольника параллельно медиане, отсекает от треугольника фигуру, равновеликую оставшейся части.

Рассмотрим треугольники $$ADN$$ и $$ABM$$. У них:

• $$\angle ADN=\angle AMB$$, так как $$DN \parallel AM$$;
• $$\angle AND=\angle ABM$$, так как точки $$N, M, B$$ лежат на одной прямой;
• $$\angle A$$ — общий.

Следовательно, $$\triangle ADN \sim \triangle ABM$$. Так как $$D$$ — середина стороны $$AC$$, то

$$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}.$$

Из подобия получаем коэффициент подобия треугольников $$ADN$$ и $$ABM$$, равный $$\frac{1}{2}$$, значит, отношение их площадей равно

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$

Но $$S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ACM}$$, поэтому прямая $$DN$$ делит треугольник $$ABC$$ на две равновеликие части.

Итак, через точку $$D$$ нужно провести прямую, параллельную медиане $$AM$$, где $$M$$ — середина стороны $$BC$$.

Ответ

Через точку $$D$$ проведите прямую, параллельную медиане $$AM$$, где $$M$$ — середина отрезка $$BC$$.