Упр.765 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 765. В треугольнике АВС отметили точку М так, что площади треугольников АМВ. ВМС и АМС равны. Докажите, что М — точка пересечения медиан треугольника АВС.

Подробный ответ

Обозначим через $$F$$ точку пересечения прямой $$BM$$ с основанием $$AC$$, через $$E$$ — точку пересечения прямой $$AM$$ с стороной $$BC$$, через $$N$$ — точку пересечения прямой $$CM$$ с стороной $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$BMC$$. У них общая высота, опущенная из точки $$B$$ на прямую $$AC$$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:

$$ \frac{S_{ABM}}{S_{BMC}}=\frac{AF}{CF}. $$

По условию $$S_{ABM}=S_{BMC}$$, значит

$$ \frac{AF}{CF}=1,\qquad AF=CF. $$

Следовательно, $$F$$ — середина стороны $$AC$$, а значит, $$BF$$ — медиана треугольника $$ABC$$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$AMC$$. Они имеют общую высоту, опущенную из точки $$A$$ на прямую $$BC$$, поэтому

$$ \frac{S_{ABM}}{S_{AMC}}=\frac{BE}{CE}. $$

Так как $$S_{ABM}=S_{AMC}$$, то

$$ \frac{BE}{CE}=1,\qquad BE=CE. $$

Значит, $$E$$ — середина стороны $$BC$$, а $$AE$$ — медиана треугольника $$ABC$$.

Аналогично из равенства $$S_{BMC}=S_{AMC}$$ получаем, что точка $$N$$ — середина стороны $$AB$$, следовательно, $$CN$$ — медиана.

Итак, точка $$M$$ лежит на трёх медианах треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$M$$ — точка пересечения медиан треугольника $$ABC$$.