Упр.764 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- На продолжениях сторон $$AB$$, $$BC$$, $$AC$$ равностороннего треугольника $$ABC$$ за точки $$B$$, $$C$$ и $$A$$ соответственно отмечены точки $$D$$, $$E$$ и $$F$$ так, что $$BD=CE=AF=2AB$$. Найдите площадь треугольника $$DEF$$, если площадь треугольника $$ABC$$ равна $$1\ \text{см}^2$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$AB=BC=CA$$.
Рассмотрим треугольник $$FBC$$. По условию $$AF=2AB$$, значит
$$FA=AB+BC=2AC.$$
Тогда для треугольников $$FBA$$ и $$ABC$$ имеем одинаковую высоту, опущенную из точки $$B$$ на прямую $$AC$$, поэтому
$$\frac{S_{FBA}}{S_{ABC}}=\frac{FA}{AC}=2,$$
следовательно,
$$S_{FBA}=2S_{ABC}=2.$$
Аналогично получаем:
$$S_{DCB}=2,$$
$$S_{ECA}=2.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$FAD$$. Так как $$BD=2AB$$, то
$$\frac{S_{FAB}}{S_{FBD}}=\frac{AB}{BD}=\frac{1}{2},$$
откуда
$$S_{FBD}=2S_{FAB}=4.$$
Аналогично:
$$S_{DCE}=4,$$
$$S_{FAE}=4.$$
Треугольник $$FDE$$ состоит из треугольников $$ABC$$, $$FBA$$, $$DCB$$, $$ECA$$, $$FBD$$, $$DCE$$ и $$FAE$$, поэтому
$$S_{FDE}=S_{ABC}+S_{FBA}+S_{DCB}+S_{ECA}+S_{FBD}+S_{DCE}+S_{FAE}.$$
Подставим значения:
$$S_{FDE}=1+2+2+2+4+4+4=19.$$
Ответ
$$19\ \text{см}^2$$
