Упр.764 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 764. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС равностороннего треугольника АВС за точки В, С и А соответственно отмечены точки D, Е и F так, что BD = СЕ = AF = 2АВ. Найдите площадь треугольника DEF, если площадь треугольника АВС равна 1 см^2.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$AB=BC=CA$$.

Рассмотрим треугольник $$FBC$$. По условию $$AF=2AB$$, значит

$$FA=AB+BC=2AC.$$

Тогда для треугольников $$FBA$$ и $$ABC$$ имеем одинаковую высоту, опущенную из точки $$B$$ на прямую $$AC$$, поэтому

$$\frac{S_{FBA}}{S_{ABC}}=\frac{FA}{AC}=2,$$

следовательно,

$$S_{FBA}=2S_{ABC}=2.$$

Аналогично получаем:

$$S_{DCB}=2,$$

$$S_{ECA}=2.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$FAD$$. Так как $$BD=2AB$$, то

$$\frac{S_{FAB}}{S_{FBD}}=\frac{AB}{BD}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$S_{FBD}=2S_{FAB}=4.$$

Аналогично:

$$S_{DCE}=4,$$

$$S_{FAE}=4.$$

Треугольник $$FDE$$ состоит из треугольников $$ABC$$, $$FBA$$, $$DCB$$, $$ECA$$, $$FBD$$, $$DCE$$ и $$FAE$$, поэтому

$$ S_{FDE}=S_{ABC}+S_{FBA}+S_{DCB}+S_{ECA}+S_{FBD}+S_{DCE}+S_{FAE}. $$

Подставим значения:

$$ S_{FDE}=1+2+2+2+4+4+4=19. $$

Ответ

$$19\ \text{см}^2$$