Упр.763 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

1. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении $$9:8$$, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен $$16\text{ см}$$.

Обозначим точку касания вписанной окружности с боковой стороной через $$E$$, а основание высоты из вершины равнобедренного треугольника — через $$H$$. Тогда $$OE=OH=R=16$$ см.

Пусть $$AE=8x$$, $$BE=9x$$, так как точка касания делит боковую сторону в отношении $$9:8$$ от вершины.

В равнобедренном треугольнике высота из вершины является также биссектрисой и медианой, поэтому $$BH \perp AC$$ и $$H$$ — середина основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$:

$$AB=AE+BE=17x,$$
$$AB^2=AH^2+BH^2.$$

Так как $$AH=AE=8x$$, получаем:

$$(17x)^2=(8x)^2+BH^2$$
$$289x^2=64x^2+BH^2$$
$$BH^2=225x^2,\quad BH=15x.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$OBE$$.

У них:

$$\angle ABH=\angle OBE,$$
$$\angle AHB=\angle OEB.$$

Следовательно, $$\triangle ABH \sim \triangle OBE$$ по двум углам.

Из подобия:

$$\frac{BE}{BH}=\frac{OE}{AH}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{9x}{15x}=\frac{16}{8x}$$
$$\frac{3}{5}=\frac{2}{x}$$
$$3x=10$$
$$x=\frac{10}{3}.$$

Тогда

$$BH=15x=15\cdot \frac{10}{3}=50,$$
$$AH=8x=8\cdot \frac{10}{3}=\frac{80}{3}.$$

Так как треугольник равнобедренный, то $$H$$ — середина основания, значит

$$AC=2AH=\frac{160}{3}.$$

Теперь найдём площадь:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH =\frac{1}{2}\cdot \frac{160}{3}\cdot 50 =\frac{4000}{3}.$$

Ответ

$$\frac{4000}{3}\text{ см}^2$$