Упр.763 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 763. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 9 : 8, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Подробный ответ

Обозначим точку касания вписанной окружности с боковой стороной через $E$, а основание высоты из вершины равнобедренного треугольника — через $H$. Тогда $OE=OH=R=16$ см.

Пусть $AE=8x$, $BE=9x$, так как точка касания делит боковую сторону в отношении $9:8$ от вершины.

В равнобедренном треугольнике высота из вершины является также биссектрисой и медианой, поэтому $BH \perp AC$ и $H$ — середина основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$:

$$AB=AE+BE=17x,$$
$$AB^2=AH^2+BH^2.$$

Так как $AH=AE=8x$, получаем:

$$ (17x)^2=(8x)^2+BH^2 $$
$$ 289x^2=64x^2+BH^2 $$
$$ BH^2=225x^2,\quad BH=15x. $$

Теперь рассмотрим треугольники $ABH$ и $OBE$.

У них:

$$\angle ABH=\angle OBE,$$
$$\angle AHB=\angle OEB.$$

Следовательно, $$\triangle ABH \sim \triangle OBE$$ по двум углам.

Из подобия:

$$\frac{BE}{BH}=\frac{OE}{AH}.$$