Упр.762 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 762. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведённую к основанию, на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь данного треугольника.

Обозначим точку касания вписанной окружности с высотой $$BH$$ через $$O$$. Тогда $$BO$$ и $$CO$$ — биссектрисы углов треугольника, а в равнобедренном треугольнике высота $$BH$$ является также медианой.

Из условия:

$$BO=34\text{ см}, \quad OH=16\text{ см}.$$

Следовательно,

$$BH=BO+OH=34+16=50\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BHC$$. Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то расстояния от него до сторон, образующих угол при вершине $$B$$, связаны пропорцией:

$$\frac{BO}{BC}=\frac{OH}{CH}.$$

Отсюда

$$\frac{BC}{CH}=\frac{BO}{OH}=\frac{34}{16}=\frac{17}{8},$$

значит

$$BC=\frac{17}{8}CH.$$

По теореме Пифагора для треугольника $$BHC$$:

$$BC^2=BH^2+CH^2.$$

Подставим найденное выражение для $$BC$$:

$$\left(\frac{17}{8}CH\right)^2=50^2+CH^2.$$

$$\frac{289}{64}CH^2=2500+CH^2.$$

$$\frac{225}{64}CH^2=2500.$$

$$CH^2=\frac{2500\cdot 64}{225}, \quad CH=\frac{80}{3}\text{ см}.$$

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$BH$$ — и высота, и медиана, значит

$$AC=2CH=\frac{160}{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot \frac{160}{3}=\frac{4000}{3}\text{ см}^2.$$

Ответ

$$\frac{4000}{3}\text{ см}^2$$