Упр.761 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 761. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см.
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$CD$$ делит гипотенузу $$AB$$ на отрезки $$AD=2$$ см и $$BD=6$$ см.
По свойству биссектрисы:
$$\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}$$
Отсюда
$$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}=\frac{6}{2}=3,$$
значит, $$BC=3AC$$.
Найдём гипотенузу:
$$AB=AD+BD=2+6=8.$$
По теореме Пифагора:
$$AB^2=AC^2+BC^2$$
$$8^2=AC^2+(3AC)^2$$
$$64=AC^2+9AC^2$$
$$10AC^2=64,$$
$$AC^2=6{,}4.$$
Тогда площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 3AC=\frac{3}{2}AC^2.$$
Подставим найденное значение:
$$S_{ABC}=\frac{3}{2}\cdot 6{,}4=9{,}6.$$
Ответ
$$9{,}6\ \text{см}^2$$