Упр.760 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 760. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса его острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 21 см и 35 см.

Подробный ответ

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AD$$ делит противолежащий катет $$BC$$ на отрезки $$CD=21$$ см и $$BD=35$$ см.

По теореме о биссектрисе:

$$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}, \qquad \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}.$$

Тогда

$$\frac{AB}{AC}=\frac{35}{21}=\frac{5}{3}, \qquad AB=\frac{5}{3}AC.$$

Найдём весь катет $$BC$$:

$$BC=BD+CD=35+21=56.$$

По теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Подставим $$AB=\frac{5}{3}AC$$ и $$BC=56$$:

$$\left(\frac{5}{3}AC\right)^2=AC^2+56^2,$$
$$\frac{25}{9}AC^2=AC^2+3136,$$
$$\frac{16}{9}AC^2=3136,$$
$$AC^2=1764,$$
$$AC=42.$$