Упр.759 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 759. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АВ проведена высота СМ. Площадь треугольника АСМ равна 6 см^2, а площадь треугольника ВСМ — 54 см^2. Найдите стороны треугольника АВС.

Подробный ответ

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ высота $$CM$$ делит его на два прямоугольных треугольника $$ACM$$ и $$BCM$$.

Из формулы площади прямоугольного треугольника получаем:

$$S_{ACM}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot MC=6,$$
откуда
$$AM=\frac{12}{MC}.$$

Аналогично,
$$S_{BCM}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot MC=54,$$
значит
$$BM=\frac{108}{MC}.$$

Так как $$CM$$ — высота к гипотенузе прямоугольного треугольника, то

$$MC^2=AM\cdot BM.$$

Подставим найденные выражения:

$$MC^2=\frac{12}{MC}\cdot \frac{108}{MC},$$
$$MC^4=1296,$$
$$MC=6.$$

Тогда

$$AM=\frac{12}{6}=2,$$
$$BM=\frac{108}{6}=18.$$

Следовательно, гипотенуза