Упр.758 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу прямоугольного треугольника на отрезки, один из которых на $$14\ \text{см}$$ больше другого. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен $$4\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Обозначим точку касания вписанной окружности с гипотенузой $$AB$$ через $$H$$. Тогда по свойству касательных, проведённых из одной точки, имеем:

$$BE=BH,\quad AF=AH,$$

где $$E$$ и $$F$$ — точки касания окружности со сторонами $$BC$$ и $$AC$$ соответственно.

Так как радиус вписанной окружности равен $$4$$ см, то расстояния от центра окружности до сторон треугольника равны $$4$$, а значит в прямоугольнике $$CFOE$$ получаем:

$$CF=OE=4,\quad CE=OF=4.$$

Пусть $$AH=x$$. Тогда по условию задачи

$$BH=AH+14=x+14.$$

Следовательно,

$$AB=AH+BH=x+(x+14)=2x+14,$$

$$AC=AF+CF=x+4,$$

$$BC=BE+CE=(x+14)+4=x+18.$$

Для прямоугольного треугольника $$ABC$$ по теореме Пифагора:

$$AB^2=AC^2+BC^2.$$

Подставим найденные выражения:

$$(2x+14)^2=(x+4)^2+(x+18)^2$$
$$4x^2+56x+196=x^2+8x+16+x^2+36x+324$$
$$4x^2+56x+196=2x^2+44x+340$$
$$2x^2+12x-144=0$$
$$x^2+6x-72=0$$
$$D=6^2+4\cdot 72=324$$
$$x=\frac{-6+18}{2}=6$$

Тогда

$$AC=6+4=10,$$

$$BC=6+18=24.$$

Площадь прямоугольного треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot 10\cdot 24=120.$$