Упр.757 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 757. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка М так, что AM/MC = m/n. Пусть X — произвольная внутренняя точка отрезка ВМ. Докажите, что SABX/SCBX = m/n.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точка $$M$$ лежит на стороне $$AC$$ и делит её в отношении $$\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n}$$.

1) В треугольнике $$ABC$$ треугольники $$ABM$$ и $$CBM$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$B$$ на прямую $$AC$$. Поэтому их площади относятся как основания:

$$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}}=\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n},$$

откуда

$$S_{ABM}=\frac{m}{n}S_{CBM}.$$

2) В треугольнике $$AXC$$ треугольники $$AXM$$ и $$CXM$$ также имеют общую высоту, опущенную из точки $$X$$ на прямую $$AC$$. Следовательно,

$$\frac{S_{AXM}}{S_{CXM}}=\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n},$$

то есть

$$S_{AXM}=\frac{m}{n}S_{CXM}.$$

3) Так как точка $$X$$ лежит внутри отрезка $$BM$$, то в треугольнике $$CBX$$

$$S_{CBX}=S_{CBM}-S_{CXM}.$$

4) Аналогично в треугольнике $$ABX$$

$$S_{ABX}=S_{ABM}-S_{AXM}.$$

Подставим найденные выражения: