Упр.757 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)
- На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$M$$ так, что $$\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n}$$. Пусть $$X$$ — произвольная внутренняя точка отрезка $$BM$$. Докажите, что $$\frac{S_{ABX}}{S_{CBX}}=\frac{m}{n}$$.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точка $$M$$ лежит на стороне $$AC$$ и делит её в отношении $$\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n}$$.
1) В треугольнике $$ABC$$ треугольники $$ABM$$ и $$CBM$$ имеют общую высоту, опущенную из точки $$B$$ на прямую $$AC$$. Поэтому их площади относятся как основания:
$$\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}}=\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n},$$
откуда
$$S_{ABM}=\frac{m}{n}S_{CBM}.$$
2) В треугольнике $$AXC$$ треугольники $$AXM$$ и $$CXM$$ также имеют общую высоту, опущенную из точки $$X$$ на прямую $$AC$$. Следовательно,
$$\frac{S_{AXM}}{S_{CXM}}=\frac{AM}{MC}=\frac{m}{n},$$
то есть
$$S_{AXM}=\frac{m}{n}S_{CXM}.$$
3) Так как точка $$X$$ лежит внутри отрезка $$BM$$, то в треугольнике $$CBX$$
$$S_{CBX}=S_{CBM}-S_{CXM}.$$
4) Аналогично в треугольнике $$ABX$$
$$S_{ABX}=S_{ABM}-S_{AXM}.$$
Подставим найденные выражения:
$$S_{ABX}= \frac{m}{n}S_{CBM}-\frac{m}{n}S_{CXM} = \frac{m}{n}(S_{CBM}-S_{CXM}) = \frac{m}{n}S_{CBX}.$$
Следовательно,
$$\frac{S_{ABX}}{S_{CBX}}=\frac{m}{n}.$$
Ответ
$$\frac{S_{ABX}}{S_{CBX}}=\frac{m}{n}$$
