Упр.756 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 756. В треугольнике проведены три высоты. Докажите, что к наибольшей стороне треугольника проведена наименьшая высота.

В треугольнике $$ABC$$ площадь можно выразить через любую сторону и проведённую к ней высоту:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CN,$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AE,$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BF.$$

Так как все эти выражения равны одной и той же площади, то

$$AB\cdot CN=BC\cdot AE=AC\cdot BF.$$

Из условия $$AC>BC>AB$$ получаем:

$$\frac{AE}{CN}=\frac{AB}{BC}<1,$$

значит, $$AE<CN$$;

$$\frac{BF}{AE}=\frac{BC}{AC}<1,$$

значит, $$BF<AE$$.

Следовательно,

$$BF<AE<CN.$$

Значит, к наибольшей стороне $$AC$$ проведена наименьшая высота $$BF$$.

Ответ

$$BF<AE<CN$$, то есть к наибольшей стороне $$AC$$ проведена наименьшая высота $$BF$$.