Упр.755 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 755. Постройте треугольник, равновеликий данному параллелограмму.

Пусть дан параллелограмм $$ABCD$$. Построим отрезок $$MN$$, равный стороне $$CD$$.

Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$AC$$, а из точки $$N$$ — окружность радиуса $$AD$$. Обозначим через $$K$$ точку их пересечения.

Тогда в треугольнике $$MNK$$ имеем:

$$MN=CD,$$

$$MK=AC,$$

$$NK=AD.$$

Площадь треугольника $$MNK$$ равна

$$S_{MNK}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot h,$$

а площадь параллелограмма $$ABCD$$ равна

$$S_{ABCD}=CD\cdot h,$$

где $$h$$ — высота, проведённая к стороне $$CD$$. Следовательно,

$$S_{MNK}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.$$

Чтобы получить треугольник, равновеликий параллелограмму, достаточно взять основание вдвое больше: на луче $$MH$$ отложим $$HN=CD$$, тогда $$MN=2CD$$. Проведём из точек $$M$$ и $$N$$ окружности радиусов $$AC$$ и $$AD$$ соответственно и отметим их точку пересечения $$K$$. Полученный треугольник $$MNK$$ будет равновелик данному параллелограмму.

Ответ

Построить отрезок $$MN=2CD$$, затем из точек $$M$$ и $$N$$ провести окружности радиусов $$AC$$ и $$AD$$; их точка пересечения $$K$$ задаёт искомый треугольник $$MNK$$, равновеликий параллелограмму $$ABCD$$.