Упр.754 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 8 класс, Вентана-Граф: 754. Через вершину ромба проведите две прямые так, чтобы они разбили данный ромб на три равновеликих многоугольника.

Подробный ответ

Разобьём стороны $$AD$$ и $$CD$$ на три равные части и отметим на них точки $$M$$ и $$N$$ так, чтобы $$AM=MN=ND$$ и $$CN=NP=PD$$. Проведём через вершину $$B$$ прямые $$BM$$ и $$BN$$.

Тогда ромб разобьётся на три многоугольника: $$ABM$$, $$BMND$$ и $$BNC$$.

Площадь ромба равна сумме площадей этих трёх фигур. Докажем, что они равны.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$BNC$$. У них основания $$AM$$ и $$CN$$ равны, так как стороны разбиты на три равные части. Высоты, опущенные из точки $$B$$ на прямые $$AD$$ и $$CD$$, одинаковы, поскольку в ромбе противоположные стороны параллельны и расстояние между параллельными прямыми постоянно. Значит,

$$S_{ABM}=\frac12 \cdot AM \cdot h,\qquad S_{BNC}=\frac12 \cdot CN \cdot h,$$

а так как $$AM=CN$$, то $$S_{ABM}=S_{BNC}$$.

Теперь найдём площадь среднего четырёхугольника $$BMND$$. Она равна площади ромба без площадей двух крайних треугольников:

$$S_{BMND}=S_{ABCD}-S_{ABM}-S_{BNC}.$$

Так как $$AM=MN=ND$$ и $$CN=NP=PD$$, то каждая из крайних частей составляет одну треть соответствующей стороны, а значит, площади треугольников $$ABM$$, $$BMND$$ и $$BNC$$ оказываются равными. Следовательно, проведённые прямые $$BM$$ и $$BN$$ делят ромб на три равновеликих многоугольника.